Chuyên đề : Ước – bội, ƯCLN - BCNN
lí thuyết
Kiến thức cơ bản
Giao của hai tập hợp:
Ước chung: ƯC(a,b) = Ư(aƯ(b)
Nếu thì (a,b) = b
a và b nguyên tố cùng nhau a,b) = 1
Muốn tìm UC của các số đã cho, ta tìm ƯCLN của các số đó.
Nâng cao
- Ba số a,b,c nguyên tố cùng nhau đôi một nếu (a,b) = 1; (b,c) = 1;(a,c) = 1
Nếu ab m mà (a,m) = 1 thì bm
Cho a , b N thì k.ƯCLN( a,b) = ƯCLN( ka, kb). Từ đó nếu a = km và b = kn thì khi đó ƯCLN( a ,b) = k.ƯCLN( m , n).
- Số ước số của một số tự nhiên: Cho số tự nhiên M nếu M phân tích thành tích các thừa số nguyên tố là : M = ax.by....cz , với a,b,..., c là các số nguyên tố khác nhau và x , y ,..., z Z+ , thì số ước số của M = ( x + 1)( y + 1)...( z + 1) .
Ví dụ : 360 = 23.32.5 nên số ước số của 360 là (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4.3.2 = 24
- Trong một số trường hợp, có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN, BCNN và tích của hai số nguyên dương a, b, đó là : ab = (a, b).[a, b], trong đó (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN của a và b.
II. bài tập
( Bài 1: ( Dùng thuật toán Ơclit để tìm ƯCLL ):Tìm ƯCLN (1575, 343)
Giải :
Cách 1 : ( Dùng quy tắc )
Ta có : 1575 5 343 7
315 5 49 7
63 3 7 7
21 3 1 Vậy ( 1575 ; 343 ) = 7
7 7
1
1575 = 32.52.7 343 = 73

Cách 2 : Áp dụng tính chất a = bq + r thì ƯCLN ( a ; b ) = ƯCLN ( b ; r )
Ta có: 1575 = 343. 4 + 203
343 = 203. 1 + 140
203 = 140. 1 + 63
140 = 63. 2 + 14
63 = 14.4 + 7
14 = 7.2 + 0 chia hết nên WCLN ( 14 ; 7 ) = 7
Vậy: Hãy tìm ƯCLN (1575, 343) = 7
Trong thực hành người ta đặt phép chia đó theo sơ đồ như sau gọi là thuật toán ƠClit:









Số dư cuối cùng khác 0 của dãy chia này là ƯCLN ( 1575 ; 343 )
Đáp số : ƯCLN (1575, 343) = 7
Giới thiệu thuật toán Ơclit:
Để tìm ƯCLN(a, b) ta thực hiện như sau:
- Chia a cho b có số dư là r
+ Nếu r = 0 thì ƯCLN(a, b) = b. Việc tìm ƯCLN dừng lại.
+ Nếu r > 0, ta chia tiếp b cho r, được số dư r1
- Nếu r1 = 0 thì r1 = ƯCLN(a, b). Dừng lại việc tìm ƯCLN
- Nếu r1 > 0 thì ta thực hiện phép chia r cho r1 và lập lại quá trình như trên. ƯCLN(a, b) là số dư khác 0 nhỏ nhất trong dãy phép chia nói trên.
Em hãy vận dụng cách làm trên để giải bài sau
Bài tậptương tự : Tìm bằng thuật toán Ơclit
ƯCLN(7092, 306)
ƯCLN(3618, 214)
ƯCLN(6756, 2463)
d)Cho a = 123456789 ; b = 987654321. Tìm ƯCLN (a, b)
( Bài 2 : Tìm ƯCLN của 2n – 1 và 9n + 4 (n∊N)
Giải :
Gọi d (2n – 1 ; 9n + 4 )( 2n – 1 d và 9n + 4 d
⇒ 2(9n + 4) – 9(2n – 1d hay 18n + 8 – 18n